Well tuned pianoのボックス、この辺りの決定的な6枚組の作品のブックレットに改めて目を通したら、決定的なテキストがあったので、機械翻訳ですがここにも掲載します。難解と思われる向きも多いと思われますが必要な方に必要としていただけたらと。純正調について言葉で言えることはここで言い尽くしてるのではないかと思います。

ウェル・チューンド・ピアノについての覚書
ラ・モンテ・ヤング

1964年、私はニューヨークの自分のスタジオで《ウェル・チューンド・ピアノ》のための音程を調律した。私は、倍音列を、より具体的に有理数の集合として関係付ける必要性を理解し始めていた。倍音列もまた、耳で捉えられる倍音系列中の分割によって現れる音程にもとづく等しい有理数として解釈できる。《ウェル・チューンド・ピアノ》のための調律は、理想的には純正調である。純正調では、有理数周波数の最も近い関係は、倍音列や／あるいはサブハーモニック列の部分音に帰属できる。私の調律の全ての音高は、端的に言えば、88鍵のベーゼンドルファー・インペリアルのシリーズにもとづく、基本的な基準音程と関係した、あるいはその両極端から導かれている。本テキスト全体で、ピアノの音の体系は、C、D、Eなど、平均律による音名で表記する。ベーゼンドルファーでは鍵盤が96鍵あり、最低音のC（標準ピアノの最低音C）からB₉、C₉（標準ピアノの最低音C）からB₉、およびC₉までとなっており、中央のCはC₄、A=440はA₄、ピアノの最高音はC₉としている。

理論的および音響的背景

時間の計測の概念を持つためには、周期性という概念が必要である。もし時間の計測が周期性に依存していると仮定すれば、二つ以上の周波数の関係を決定する際には、人間の仕組みは周期的な性質の情報を最もよく分析できることになる。和音的音程の場合、これは可聴な拍動や変調となり、全ての周波数成分の対が何らかの有理分数で表せる関係性の集合に適合している場合に限られる。非和音的な、つまり本来は調和的な関係にない周波数の組み合わせであっても、周期的な合成音波形を生成する。

有理数体系の興味深い特徴のひとつは、それが潜在的に感情を分類する体系となりうることである。つまり、同じ楽曲を聴くたびに持つ一種の感覚や「感じ」は、有理数体系で整理できるかもしれない。ここで「感じ」とは、楽しい・悲しい・恋しい・怒っているなどの情緒ではなく、むしろ神経系や分析システムに確立される周期的パターンの集合を意味している。これらは、耳に届く空気圧のパターンとして、すなわち、同じ調性で聴くたびに同じか似た振動パターンを持つ。

世界の音楽伝統では、一定の音がドローンとして持続されたり、頻繁に繰り返されたり、特定のトニックを基準にした限定的な音階関係が、あるモード内で様々な旋律的変奏を通じて繰り返される。通常、特定のモードやラーガは、同一の周波数識別が現れるたびに、ドローンとの同じ周波数関係を持つ。だが、この固定音は別のオクターブに現れることもあり、おそらく同じ神経繊維やニューロングループによるものと思われる。Hz単位で言えば、これらの神経線維は、単一正弦波周波数で約200Hzまで、毎秒約200回の応答速度を持つ。200Hzを超える単一正弦波周波数では、新たな神経グループによる位相同期、あるいは蝸牛内で複合波形やその歪んだ繰り返しが記憶される必要がある。このような情報は、低周波神経の最良の信号セットが協働すれば、1周期あたり複数のパルスを出せるのに対し、高周波神経は1周期あたり1つかごく少数の周期しか受け取れない、という点で顕著である。

周期的な合成波形は、合成周波数（和音）の包絡線を生成し、これは和音の和（f₁ + f₂）や差（f₁ – f₂）などの基本組み合わせだけでなく、近年発見された2f₁ – f₂や3f₁ – 2f₂といった組み合わせトーン、さらに約1500Hz以下の周波数帯における「消失基音」f₀も含む。「消失基音」トーンは差音と同じ周波数に現れる。Roedererは、この「基音」周波数が実際には、倍音的に関係した音群の振動パターン（合成波形）の完全周期の繰り返し率であること、そして私たちの聴覚系がこの繰り返し率に敏感であることを指摘した。しかし、「消失基音」や「周期ピッチ」は、かつて言われていたような蝸牛液の振動に限定されるものではなく、最新の聴覚心理学理論では、むしろ和音の組み合わせトーンに由来し、より高次の神経処理による加算・伝達プロセスの結果とされている。元の比率が維持される限り、繰り返されるパターンの包絡線は、どんな高次の有理的関係音でも同じになる。

同様に、差音と基音は、設計上の制約により耳には区別できないことがあり、ロースピーカーが低次組み合わせトーンを生成できない場合、「周期ピッチ」はむしろ高次生成周波数に存在し、内部処理ネットワークの後段階で周期的な組み合わせを通じて大脳皮質に伝えられる…。

より完全な振動情報の集合をもってすれば、確かに 1/f₁ – 2f₂ は、メカニズム段階における「消失基音」f₃ を差音として生み出すことができ、さらに段階を進めれば理論的には f₁ + f₂ も、適切な条件下では再び f₄ を生成することができる。したがって、C – B = A は A + B = C に変換されうる。

現在の聴覚心理学研究およびプレース理論やヴォリー理論の仮定は、連続的あるいは繰り返される和音的関係音が、周期的パターンのインパルスを脳皮質内の特定の固定位置に伝達する同じ作動を、特定のセットとして絶えず引き起こす論理的状態を示唆している。

実際、私には、各和音的関係の音程はそれぞれ独自の「感覚」を生み出しているように思われる。ただし、私たちに伝わってきた音楽では、そのうち特定の感覚のみが利用されてきた。たとえば西洋クラシック音楽の体系では、有理調律で提示・分析される場合、分子分母のすべてが素数2, 3, 5で割り切れる関係や、より高次の素因数で領域が拡張される関係などを用い、より遠い倍音系列やそれに関連する感覚の領域まで拡張することができる。「言語」体系は情報が繰り返し可能であるという事実に依存しているが、純正調の体系がまさにこれを提供する。私たちはこの体系によって、まず各「感覚」をそれに対応する有理数でカタログ化し、実際にその感覚を創出し、保存し、呼び出し、想起し、そして何より、音楽家が音程を正確に調律する能力に応じてその感覚を繰り返すことができる。

ここで注意すべきは、平均律における音程は無限に循環しない小数（2^(1/12) = 1.059463…）でしか表現できないため、合成波形も無限に循環しないものとなる、という点である。したがって、過去とまったく同じ波形が再現される機会はきわめて少ない。唯一の例外は、電子的な位相関係でまったく同じ音程を再生する場合（例：同じ音程のテープを録音・再生）である。また、平均律の音程も単純な比率で近似できるものの、たとえば2^(1/12)の代用として18/17などの比率を用いる国もあるが、伝統的な熟練演奏家やすべての電子機器を用いても、すべての平均律音程を正確に見つけるのは容易でない。実際、無限に循環しない小数を正確に表現できるかどうか人間にはわからない。したがって、平均律のすべての音程は無限に循環しない小数で命名・識別できるが、その性質上つねに不正確であり、単純な有理音程は正確とみなせるのとは対照的である。

もちろん、素数が小さいもの、または分子分母が小さい（「単純比」）音程は周期的合成波形を生み出しやすく、耳に「単純な」比率として明確に対応し認識されやすい。その結果、電子計測技術を用いると、単純比率はより正確な周期合成波形を生み、複雑比率はそうでないことになる。したがって、人間の仕組みも単純な比率をより速く、容易に分析し理解できると考えられる。逆に、分子分母が非常に大きい有理数で表される音程を想像してみてほしい。その場合、その合成波形のひと周期（セグメント）が人間の寿命より長くなるだろう。当然ながら、そんなにゆっくりした周期性の音程を理解・分析することはできないし、実際に合成波形の繰り返しを十分に観測できることもない。

要するに、ここで扱われているのは、ある音程が有理数で表されうるという事実と、その分子・分母の長さ（値）がどの程度かということとのバランスをとる「閾値」である。東西の伝統音楽は、2, 3, 5の素因数（さらには2^n:1型の平均律もこの能力を示している）を使った体系によって重要なレパートリーが構築できることを示してきたが、より大きな数や複雑な整数比の理解・体系的包摂も可能であることが明らかになりつつある。

約250年間、平均律体系は、最終的には過去の音程関係の幅と選択肢を再獲得するために、調性の拡張と転調の自由という極めて重要な機能を担ってきた。その後、インド亜大陸や極東では多くの未開拓領域や独自の創造的可能性が発展した。合理的な比率体系による音程も平均律体系で生成できるため、私たちは音楽体験全体を言語として聴く手段を持っており、比率の組み合わせが語彙、転調や進行が文法や語彙の洗練にあたるとみなすことができる。

未発表の理論的研究「11カテゴリーの二体系：1.07-40 AM 4 3 X 6 7 – ca. 60 PM 7 1/5」（「垂直聴取、または現在時制での聴取」より）は、基本音程の整数倍で表される同時発音音群の集合に適用され、どの周波数が複合集合から除外されるかを階層的制御で測定する方法の概略を示している。数学者クリスター・ヘニックス（元MIT人工知能研究所）は1969年の論文「11カテゴリーの二体系」への序文で次のように書いている：

「11カテゴリーの二体系は、還元比の選択、すなわち、基準となる区間の連続性の中に比率が収まるすべての再帰的な数をアルゴリズム的に精緻化し、より一般的な方法を与えるものである。これは、音楽的間隔体系の基礎となりうる音響的数の集合として機能しうる、広義の調和関係体系のための数の集合である。音楽におけるこの文脈での意義は、『同じ』音というものが、何らかの同一の特性を持つという事実に基づいているように思われる。この特性は、整数関係としての比によって定義でき、曖昧さのない物理量として伝達可能である。」（『現代音楽百科事典』Africa, Macmillan, 1974, p.830 の「Music」の項参照）

さらに、ヘニックスの最近の研究（1985年、未発表）では、「11カテゴリーの二体系」の特異性が、体系A（11カテゴリーの二体系の5, 7, 6番）を形式化する論理において、無限不変な言語を提供している：

「体系Aの解は、明らかに複雑な動的再帰過程を、再帰アルゴリズムによって効率的に合成可能な数の集合に還元することを表現している。ヘニックス・アルゴリズムの主な美点は、単純な調律操作によって、体系が許容する音高のあらゆるパラメトリック変化と調和構造の音響を統合しつつ、部分の要素間および全体の構成要素間の関係を維持できる点にある。」

そして聴覚心理学者たちが音高情報をどのように処理・分析するか研究・仮説を立て続けている一方で、耳は音振動そのものを知覚し、それを聴覚神経系（脳を含む）を通じて時間的情報として伝達する能力を持つように思われる。この前提を受け入れるならば、周期的合成波形やそこから導かれる純正調音階、和音、音程は、音によってリアルタイムに体験可能な基本的振動構造として分類しうる。したがって、周期的な音波形は、振動構造の基本原理の特に知覚しやすいモデルとなる場合がある。純正調で調律された和音や音程の進行を聴くときに時折感じる「言葉では表せない真理」の感覚は、これらの基本原理のより広範で普遍的な意味を、私たちが根底で、無意識に認識していることの現れなのかもしれない。

聴覚心理学者ジョン・モリノ（元コロンビア大学、ワイル研究所）は、1987年の口頭伝達でこう述べている：

「私にとってラ・モンテ・ヤングの音楽は、ヒト神経系の周期的評価が誘発されるという点で、他にない体験をもたらす。これは、例えば『消失基音』の論理的メカニズムや、それに対応する神経生理学的現象の説明を、明確かつ直接的に示すものである。あらゆる音程が綿密に調律された周期音波形は、無作為で秩序のない構造とは対照的に、直接的かつ根源的に知覚・感覚される振動的環境の秩序をもたらす。周期波形理論に基づいた音楽体系が、音楽の構造を演奏者が創造・展開する過程で『感じる』という体験を初めて聴き手にもたらす。この中には『消失基音』という聴覚心理学現象の説明だけでなく、人間の聴覚神経系の進化的発展のアナロジーも含まれており、純正調の音楽的音程や構造が初めて直接的かつ深い形で体験される。」

純正調体系において、《ウェル・チューンド・ピアノ》の調律は独特の音程とそこから派生する感覚群を提示する。その中には音楽でこれまで顕著な役割を果たしてこなかった感覚も含まれる。これらの音程は、太古の始まりから直観的に感じられていたものかもしれないが、いま初めて直接的かつ深遠なかたちで体験できるようになった。